پارامتر همبستگی چیست؟

دو متغیر تصادفی $ x $ و $ y $ را در نظر بگیرید. در اینجا ، ما کواریانس بین $ x $ و $ $ را تعریف می کنیم ، که $ textrm (x ، y) $ نوشته شده است. کواریانس اطلاعاتی در مورد چگونگی ارتباط آماری $ $ $ و $ $ ارائه می دهد. بگذارید این تعریف را ارائه دهیم ، سپس در مورد خصوصیات و کاربردهای کواریانس بحث کنیم.

کواریانس بین $ x $ و $ $ به عنوان start ٪ label تعریف شده است<> nonumber textrm (x ، y) & = e big [(x-ex) (y-ey) big] = e [xy]-(ex) (ey).پایان

Note that x08egin%label<> onumber Ex08ig[(X-EX)(Y-EY)x08ig]&=Ex08ig[XY-X(EY)-(EX)Y+(EX)(EY)x08ig]\ onumber &=E[XY]-(EX)(EY)-(EX)(EY)+(EX)(EY)\ onumber &=E[XY]-(EX)(EY). end Intuitively, the covariance between $X$ and $Y$ indicates how the values of $X$ and $Y$ move relative to each other. If large values of $X$ tend to happen with large values of $Y$, then $(X-EX)(Y-EY)$ is positive on average. In this case, the covariance is positive and we say $X$ and $Y$ are positively correlated. On the other hand, if $X$ tends to be small when $Y$ is large, then $(X-EX)(Y-EY)$ is negative on average. In this case, the covariance is negative and we say $X$ and $Y$ are negatively correlated. Example Suppose $X sim Uniform(1,2)$, and given $X=x$, $Y$ is exponential with parameter $lambda=x$. Find $ extrm(X,Y)$.

All of the above results can be proven directly from the definition of covariance. For example, if $X$ and $Y$ are independent, then as we have seen before $E[XY]=EX EY$, so x08egin%label<> onumber extrm(X,Y)=E[XY]-EX EY=0. end Note that the converse is not necessarily true. That is, if $ extrm(X,Y)=0$, $X$ and $Y$ may or may not be independent. Let us prove Item 6 in Lemma 5.3, $ extrm(X+Y,Z)= extrm(X,Z)+ extrm(Y,Z)$. We have x08egin%label<> onumber extrm(X+Y,Z)&=E[(X+Y)Z]-E(X+Y)EZ\ onumber &=E[XZ+YZ]-(EX+EY)EZ\ onumber &=EXZ-EXEZ+EYZ-EYEZ\ onumber &= extrm(X,Z)+ extrm(Y,Z). end You can prove the rest of the items in Lemma 5.3 similarly. Example Let $X$ and $Y$ be two independent $N(0,1)$ random variables and x08egin%label<> onumber &Z=1+X+XY^2, \ onumber &W=1+X. end Find Cov$(Z,W)$.

• • ما می توانیم از cov $ (x ، y) = exy-exey $ استفاده کنیم. ما $ ex = frac $ و شروع ٪ برچسب داریم<> nonumber ey & = e [e [y | x]] & big ( textrm big) \ nonumber & = e سمت چپ [ frac راست] & big ( textrmy | x sim exponential (x) big) \ nonumber & = int_^ fracdx \ nonumber & = ln 2. پایان ما همچنین شروع ٪ label را داریم<> nonumber exy & = e [e [xy | x]] & big ( textrm big) \ nonumber exy & = e [xe [y | x]] & big ( textrm e [x | x= x] = x big) \ nonumber & = e سمت چپ [x frac right] & big ( textrmy | x sim exponential (x) big) \ nonumber & = 1. پایان به این ترتیب ، شروع ٪ برچسب<> nonumber textrm (x ، y) = e [xy]-(ex) (ey) = 1- frac ln 2. end
  1. $ textrm (x ، x) = textrm (x) $ ؛
  2. اگر $ x $ و $ y $ مستقل باشند ، $ textrm (x ، y) = 0 $ ؛
  3. $ textrm (x ، y) = textrm (y ، x) $ ؛
  4. $ textrm (ax ، y) = a textrm (x ، y) $ ؛
  5. $ textrm (x+c ، y) = textrm (x ، y) $ ؛
  6. $ textrm (x+y ، z) = textrm (x ، z)+ textrm (y ، z) $ ؛
  7. به طور کلی،

  واریانس مبلغ:

  One of the applications of covariance is finding the variance of a sum of several random variables. In particular, if $Z=X+Y$, then x08egin%label<> onumber extrm(Z)&= extrm(Z,Z)\ onumber &= extrm(X+Y,X+Y)\ onumber &= extrm(X,X)+ extrm(X,Y)+ extrm(Y,X)+ extrm(Y,Y)\ onumber &= extrm(X)+ extrm(Y)+2 extrm(X,Y). end More generally, for $a,b in mathbb$, we conclude:

  ضریب همبستگی:

  ضریب همبستگی ، مشخص شده توسط $ rho_ $ یا $ rho (x ، y) $ ، با عادی سازی کواریانس بدست می آید. به طور خاص ، ما ضریب همبستگی دو متغیر تصادفی $ x $ و $ $ را به عنوان کواریانس نسخه های استاندارد شده از $ x $ و $ $ تعریف می کنیم. نسخه های استاندارد شده از $ x $ و $ y $ را به عنوان شروع label u = frac ، hspace v = frac hspace (5. 22) end سپس ، شروع ٪ برچسب تعریف کنید.<> nonumber rho _ = textrm (u ، v) & = textrm سمت چپ ( frac ، frac راست) \ nonumber & = textrm سمت چپ ( frac ، frac راست) & ( textrm) \ nonumber & = frac< extrm(X,Y)>بشرپایان

  نکته خوب در مورد ضریب همبستگی این است که همیشه بین 1 دلار و 1 دلار است. این یک نتیجه فوری از نابرابری Cauchy-Schwarz است که در بخش 6. 2. 4 مورد بحث قرار می گیرد. یکی از راه های اثبات این که $ -1 leq rho leq 1 $ استفاده از نابرابری زیر است: شروع ٪ label<> alpha beta leq frac ، textrm alpha ، beta in mathbb. پایان این به این دلیل است که $ ( alpha- beta)^2 geq 0 $. برابری فقط در صورتی وجود دارد که $ alpha = beta $. از این طریق می توان نتیجه گرفت که برای هر دو متغیر تصادفی $ u $ و $ v $ ، شروع ٪ label<>e [uv] leq frac ، پایان با برابری فقط در صورتی که $ u = v $ با احتمال یک. اکنون ، اجازه دهید $ u $ و $ v $ نسخه های استاندارد شده از $ x $ و $ $ باشد همانطور که در معادله 5. 22 تعریف شده است. سپس ، با تعریف $ rho _ = textrm (u ، v) = euv $. اما از آنجا که $ eu^2 = ev^2 = 1 $ ، ما نتیجه می گیریم<> rho_ = e [uv] & leq frac = 1 ، پایان با برابری فقط اگر $ u = v $. یعنی شروع ٪ برچسب<> frac = frac ، پایان که دلالت بر شروع ٪ برچسب دارد<>y & = frac x+ چپ (ey- frac ex راست) \ & = ax+ b ، hspace textrm end جایگزین $ x $ با $ -x $ ، نتیجه می گیریم که شروع ٪ label<> nonumber rho (-x ، y) leq 1. پایان اما $ rho (-x ، y) =- rho (x ، y) $ ، بنابراین ما نتیجه می گیریم $ rho (x ، y) geq-1 $بنابراین ، ما می توانیم برخی از خصوصیات ضریب همبستگی را به شرح زیر خلاصه کنیم.

  Definition Consider two random variables $X$ and $Y$: - If $ ho(X,Y)=0$, we say that $X$ and $Y$ are uncorrelated . - If $ ho(X,Y)>0 $ ، ما می گوییم $ x $ و $ y $ با همبستگی مثبت دارند.- اگر $ rho (x ، y) توجه داشته باشید که همانطور که قبلاً بحث کردیم ، دو متغیر تصادفی مستقل همیشه بی ارتباط هستند ، اما مکالمه لزوماً صحیح نیست. یعنی اگر $ x $ و $ y $ با هم مرتبط نباشند ، ممکن است $ x $ و $ y $ ممکن است یا ممکن است مستقل نباشد. همچنین ، توجه داشته باشید که اگر $ x $ و $ y $ از معادله 5. 21 ارتباط نداشته باشند ، نتیجه می گیریم که $ textrm (x+y) = textrm (x)+ textrm (y).

  اگر $ x $ و $ y $ با هم مرتبط نباشند ، پس برچسب ٪ شروع می شود<> nonumber textrm (x+y) = textrm (x)+ textrm (y). به طور کلی پایان دهید ، اگر $ x_1 ، x_2. x_n $ بدون همبستگی جفت می شوند ، یعنی $ rho (x_i ، x_j) = 0 $ وقتی $ i neq j $ ، سپس شروع ٪ label<> nonumber textrm (x_1+x_2+.+x_n) = textrm (x_1)+ textrm (x_2)+.+ textrm (x_n).پایان

  توجه داشته باشید که اگر $ x $ و $ y $ مستقل باشند ، آنها با هم ارتباط ندارند ، و بنابراین $ textrm (x+y) = textrm (x)+ textrm (y) $. این واقعیتی است که ما قبلاً در فصل 3 اظهار داشتیم و اکنون می توانیم به راحتی با استفاده از کواریانس ثابت کنیم. مثال بگذارید $ x $ و $ y $ مانند مثال 5. 24 در بخش 5. 2. 3 باشد ، یعنی فرض کنید که ما یک نکته $ (x ، y) $ را به طور تصادفی در دیسک واحد انتخاب می کنیم شروع ٪ برچسب<> nonumber d = . پایان $ x $ و $ y $ بدون همبستگی؟

  • • شروع ٪ برچسب<> nonumber textrm (z ، w) & = textrm (1+x+xy^2،1+x) \ nonumber & = textrm (x+xy^2 ، x) hspace ( textrm) \ nonumber & = textrm (x ، x)+ textrm (xy^2 ، x) hspace ( textrm) \ nonumber & = textrm (x)+e [x^2y^2] -e[xy^2] ex hspace ( textrm) \ nonumber & = 1+e [x^2] e [y^2] -e [x]^2e [y^2] hspace ( textrm)\ nonumber & = 1+1-0 = 2.پایان
    1. $ -1 leq rho (x ، y) leq 1 $ ؛
    2. if $ ho(X,Y)=1$, then $Y=aX+b$, where $a>0$;
    3. اگر $ rho (x ، y) =-1 $ ، سپس $ y = ax+b $ ، جایی که $ 0 $ است.